Nacido en  Uni de Salta, fue parte del plantel de Cafeteros Pro en la Supeliga Americana de Rugby  luego de su paso por Argentina XV, Eliseo fue llamado para Los Pumas para el último partido ante Escocia en Santiago Del Estero, aunque no jugó con la celeste y blanca. Posteriormente, el  medio scrum de Universitario  fue parte del plantel que participó del Rugby Championship. Eli Morales estuvo en la convocatoria de la victoria de Argentina 30-29 sobre Inglaterra, pero desestimaron su participación y no tuvo la oportunidad de sumar minutos oficiales con la camiseta del seleccionado mayor.

Finalmente tuvo su debut en este Test Match, Eliseo Morales se convirtió en el tercer Puma salido de las entrañas del verde y blanco del Huaico y vestir los colores del seleccionado argentino de rugby, tras los pasos de Arturo Mimesi y Diego Fortuny. Además, ahora forma parte de la lista de salteños que disputaron partidos oficiales con Los Pumas, que tiene entre otros a: Juan Figallo, Agustín Lopresti, Lucio López Fleming, Javier Irazusta, Manuel Plaza y los mencionados Fortuny y Mimessi.

Eliseo Morales el orgullo salteño de la verde y blanca de Universitario Rugby Club